粒子
粒子大小：分子，原子，原子核，电子，中子，介子，质子，分子，夸克，灵子。
ω↑↑3<<<<<<<ω↑↑4<<<<<<<<ω↑↑5<<<<<<…………<<<<<<ω↑↑ω
ω↑↑ω＝ω^ω^ω^ω^ω^ω……（重复ω次）
ω↑↑ω<<<<<<<<ω↑↑↑3<<<<<<<<ω↑↑↑4<<<<<<…………<<<<ω↑↑↑ω
ω↑↑↑ω<<<<<<ω↑↑↑↑ω<<<<<<ω↑↑↑↑↑ω<<<<<<………………<<<<<<ω↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑……（重复无限次）……↑ω＝ω［ω］ω
ω［ω］ω<<<ω［ω［ω］ω］ω<<<ω［ω［ω［ω］ω］ω］ω<<<<<<<……无限重复……（即ω［ω［ω……［ω］……ω］ω］ω）<<<<<<<<<<<<阿列夫一
阿列夫一<<阿列夫二<<<<……<<<<阿列夫无限<<<<<<阿列夫阿列夫一<<<<<阿列夫阿列夫二<<<<<<…………<<<<<阿列夫阿列夫无限<<<<<阿列夫阿列夫阿列夫一<<<<<……无限重复……＝最小的阿列夫不动点<<<<<<<<…………<<<<<<<不动点堆叠<<<<<<…………<<<<<<<不动点的极限Ф<<<<<<<<…………<<<<<<<<<<不可达基数<<<<<<<<<……<<<<<<<<<<<弱紧致基数<<<<<<<<<<<<……<<<<<<<<<<<不可描述基数<<<<<<<<<<<……<<<<<<<<<<<<强可展开基数<<<<<<<<<<……<<<<<<<<<<<存在<<<<<<<<<<<<……<<<<<<<<<<可迭代基数……，强拉姆齐基数<<<<<<<<<<<……<<<<<<<<拉姆齐基数<<<<<<<<……<<<<<<<<<<<可测基数<<<<<<<<<……<<<<<<<<<<强基数<<<<<<<<<……<<<<<<<<<……<<<<<<<<<伍丁基数<<<<<<<<<……<<<<<<<<<超巨基数（强紧致基数）<<<<<<<<……<<<<<<<<<超紧致基数<<<<<<<<<<……<<<<<<<<<可扩基数<<<<<<<<<……<<<<<<<<<<沃彭卡原理<<<<<<<<<……<<<<<<<<<<殆巨大基数<<<<<<<<……<<<<<<<<<巨大基数<<<<<<<……<<<<<<<<超巨大基数<<<<<<<<……<<<<<<<<n-巨大基数<<<<<<<<……<<<<<<<<公里10~13<<<<<<<<……<<<<<<<<0=1<<<<<<<<<<<<<……<<<<<<<<<<0>1↑<（无限上升，后面的高德纳箭头都将无限上升）<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<一阶无穷二阶无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<n阶无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<打破数字壁<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<打破算术壁<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<打破基数壁<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<真实无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<高阶真实无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<客观真实无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<高阶客观真实无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<超高阶客观真实无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<为·现实一阶无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<伪·现实n阶无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<伪·现实无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<伪·现实高阶无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<伪·现实客观无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<伪·现实高阶客观无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<伪·现实超高阶客观无穷<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<文明己知所有文字无穷无尽超大进制<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑……<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<↑<人类已知所有文字无穷迭代
阿列夫零：在集合论这一数学分支里，阿列夫数，又称艾礼富数，阿列夫数是一连串超穷基数。其标记符号为 ℵ （由希伯来字母 א 演变而来）加角标表示可数集（包括自然数）的势标记为ℵ0 ，下一个较大的势为ℵ1 ，再下一个是ℵ2，以此类推。一直继续下来，便可以对任一序数 α 定义一个基数。
构造性定义：
阿列夫数的直观定义并没有解释什么叫“下一个较大的势”，也没有证明是否存在“下一个较大的势”。即便承认对任意的基数都存在更大的基数，是否存在“下一个较大的势”使得这个基数和“下一个较大的基数”之间不再有其他的基数仍然是个问题。下面的构造型定义解决这个问题：
ℵ0定义从前，它是一个良序集ℕ的序数；
考虑良序集按照某种同构关系划出的等价类；
如上定义的等价类有一个特点：可比较，
设ℵa已定义且是一良序集的基数，考虑：
由于ℵa是某良序集的基数，这个良序集必存在于某个等价类中；一定还有其他基数为ℵa的良序集，这些良序集必将也存在于某个等价类中（可能与上面的同属同一个等价类，但不一定）。所有这些等价类将做成一集，记为Z(ℵa)。
Z(ℵa)也是良序集。
定义ℵa+1:= card(Z(ℵa))，它是一个良序集的基数。
阿列夫1：
ℵ1是所有可数序数集合的势，称为ω1或有时为Ω。这个ω1本身是一个比所有可数序数更大的序数，因此它为一个不可数集。
如何理解阿列夫零：在了解阿列夫零前，先看一个关于无穷大悖论的故事
基塔：““无穷饭店”是我们银河系中心的一家巨大的旅馆。它拥有无穷多个房间，这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。房间号从1开始，无限制地排下去。一天，这个旅店的客房全住进了客人，这时候来了一位飞碟（不明飞行物）的驾驶员，他正要去别的星系。尽管已经没有空房间了，可是旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间。他不过是把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。第二天又来了五对夫妇渡蜜月。无穷饭店能不能接待他们，老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇。周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。”
赫尔曼：“我能够理解无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者，可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？”
基塔：“很容易，我亲爱的赫尔曼。老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。”
赫尔曼：“对了！这下每个房间里的人都住到双号房中，余下的所有单号房间有无穷多个，它们空出来给泡泡糖商人住！”
关于无穷大还有很多悖论。计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！
德国数学家乔治·康托发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。
如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系。对于无穷集这—点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。
无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治·康托称为阿列夫零的集合）可以与它的某一个真子集一一对应，并余下一个元素，或者五个元素。显然，这一程序可以变化，使得从一个阿列夫零集中减去它的一个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。
还有一个办法可以使这一减法形象化，想象有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，把两棍棒的零端对齐放在桌子中心。两根棒都刻了线，按厘米计数。两根棒在右端延伸到无穷远，所有数都一一对应：0—0、1—1、2—2等等。想象把一根棒向右移动n厘米。移动以后，那棍棒上的所有数仍与不动的棒上的数一一对应。如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0—3、1—4、2—5、……。移动的n厘米代表两棍棒长之差。不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。
饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。让每一个数与每一个偶数一一对应，则余下的是一个由全部奇数所构成的阿列夫零集。
由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康托称之为阿列夫1。康托的辉煌成就之一就是著名的“对角论证法”，它说的是阿列夫1的元素不可能与阿列夫0的元素构成一一对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。康托证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；与一立方体中的点、与无限大空间中的点一一对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的点一一对应。阿列夫1又称为“连续统的势”。
阿列夫2是一切可能的数学函数——连续函数和不连续函数的数目。因为任何一个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。同样，如果我们所指的曲线是在一张邮票上，或者在一个无穷空间里，或者在一个无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。康托还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1一一对应。
当一个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生一个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一一对应。因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。
在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？康托确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。
1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致的。1963年，保罗·科恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论矛盾。简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。
科恩的研究结果是：集合论分为康托型和非康托型的。康托型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。非康托型集合论是假定有无限多个中介数。情况类似于几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。
希望学习更多关于这些神秘的超限数知识的学生可以阅读爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼著的《数学与想象力》第二章“古格尔之后”和《科学美国人》1966年三月号数学游戏部分。
ℵ₀，ℵ₁…类函数ℵ确定了无穷基数的正则序列，每一个无穷基数必恰是某一个ℵₐ，ℵₐ是后继基数的充分必要是α是后继序数；是极限基数的充分必要条件是α是极限序数。当人们把ℵₐ看成基数为ℵₐ的所有序数中之最小者时，ℵₐ就是一个序数。它的型用ωα表示。因此，ℵₐ在序列中的位置，该型序列时序数序列的子序列。
不可达基数：弱不可达基数
弱不可达基数是一种正则基数。既是极限基数又是正则基数的不可数基数。若Nα为弱不可达基数，则cf(α)=α，且α是极限序数。因为cf(Nα)≤Nα，Nα≥α，所以Nα=α。可见Nα是非常大的。由定义还可看出，不可达基数κ不可能由比它小的基数通过基数的加法、乘法、乘幂和取极限等运算得到。豪斯多夫(Hausdorff，F.)在1908年提出了弱不可达基数的概念。现已知道弱不可达基数的存在性在ZFC系统中是不可证的。
强不可达基数
强不可达基数是一种正则基数。简称不可达基数。既是正则的又是强极限的无穷基数。即如果正则基数κ满足κ>N0，且对任何λ<κ有2λ<κ，κ就是一个强不可达基数。强不可达基数一定是弱不可达的。在广义连续统假设成立时，每个弱不可达基数也是强不可达的。这时这两个概念是相同的。在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性。称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，使用通常的集合论运算得到。
灵子都有不可达基数个
不可达基数个灵子远远不如一个夸克
不可达基数个夸克远远不如一个分子
不可达基数个分子远远不如一个质子
…………以此类推下去