不可达

不可数就是指大于阿列夫零的基数。强极限就是比它小的任意基数中，2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身，也就是若k是正则基数，则不存在小于k个小于k的集组之并的基数为k，或者说不存在小于k个严格递增的序列，其极限为k。即最小大基数，不可达基数，由于任何基数λ的后继基数λ+不超过λ的幂2λ，所以每个强不可达基数必为弱不可达基数;又由于在广义连续统假设GCH之下，λ+＝2λ，所以在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数.之所以如此称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来“到达”它们.事实上，若κ是强不可达基数，又集合X的基数|X|<κ，则幂集P(X)的基数也小于κ;又若|S|<κ，且对每个X∈S，|X|<κ，则|∪S|<κ.这就是说，由小于κ的基数，无论进行何种运算，总达不到κ

如果κ是不可数的、正则的极限基数，则称κ是弱不可达基数；如果κ是不可数的、正则的强极限基数，则称κ是强不可达基数。

弱不可达基数是一种正则基数。既是极限基数又是正则基数的不可数基数。若Nα为弱不可达基数，则cf(α)=α，且α是极限序数。因为cf(Nα)≤Nα，Nα≥α，所以Nα=α。可见Nα是非常大的。由定义还可看出，不可达基数κ不可能由比它小的基数通过基数的加法、乘法、乘幂和取极限等运算得到。豪斯多夫(Hausdorff，F.)在1908年提出了弱不可达基数的概念。现已知道弱不可达基数的存在性在ZFC系统中是不可证的。

强不可达基数是一种正则基数。简称不可达基数。既是正则的又是强极限的无穷基数。即如果正则基数κ满足κ>N0，且对任何λ<κ有2λ<κ，κ就是一个强不可达基数。强不可达基数一定是弱不可达的。在广义连续统假设成立时，每个弱不可达基数也是强不可达的。这时这两个概念是相同的。在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性。称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，使用通常的集合论运算得到。

正则基数是一种特殊基数。如果α为极限序数，且cf(α)=α，则称α为正则的。正则的基数称为正则基数。不正则的无穷基数称为奇异基数。由于正则的序数一定是基数，故人们对正则的序数、正则序数、正则的基数和正则基数这几个概念不加区别地使用。通常也有人将ω称为正则基数，将Nα+1称为正则序数。正则性是基数的重要概念之一，它由德国数学家豪斯多夫(Hausdorff，F.)于1908年引入。关于正则基数的性质曾引申出许多重要的集合论命题，其中最重要的问题是：是否能在ZF系统中证明存在大于ω的正则基数?一方面，由选择公理知，N1，N2，…，Nα+1都是大于ω的正则基数。另一方面，以色列集合论学家吉帖克(Gitik，M.)于1979年在假定存在某种大基数真类的情况下，证明了不存在大于ω的正则基数，也是和ZF系统相容的。

随着更深的研究，人们发现用“套娃永远不可达的阿列夫不动点“还远不足以形容不可达基数的巨大。设Va是ZFC的模型，最小的满足条件的a就是最小的世界基数。“存在一个世界基数“，也就是a的存在，都要在Va+1中才能见证，所以Va构造了不存在世界基数的ZFC模型。因为不可达基数满足二阶ZFC语句，世界基数只满足一阶语句，所以世界基数比不可达基数小得多。最小的不可达基数之下，有无界多的世界基数层级，简直无法想象。但即使是这样，对每个自然数n，Va中都有无界多的∑n-正确基数。更进一步，我们只看∑2-正确基数(∑1-正确基数就是阿列夫数)。阿列夫数的递增序列和套娃都可以用幂集公理和替代公理中的∑1语句定义，因此再高的套娃甚至都不能达到∑2-正确基数的高度。

更准确地说，如果基数K不可数，那么他就是强烈不可达的，它不是总和小于𝐾，或者𝑎＜𝓀。

如果它是一个正则弱基数，那么不可数的基数就是弱不可达基数。它是强不可达的，或者仅仅只是可达的，如果它是一个正则强基数（等价于上面给出的定义）。一些作者不需要弱和强可达基数可数（在这种情况下𝑁₀是强不可达的）。

每个强不可达基数也是弱不可达的，因为每个强极限基数也是一个弱极限基数。如果广义连续性假设成立，那么当且仅当弱不可达时，基数是强不可达的。

𝑁₀是一个常规的强极限基数。假设公理的选择，每个其他无穷基数是有规律的或（弱）限制的。然而，只有相当大的基数可以两者都很弱，所以弱不可达。

当且仅当它是一个正则序数，而且它是正常的数字的极限时，序数是弱不可达基数。（零，一和𝑁₀是正则序数，而不是常规的数字的极限）弱不可达基数并且也具有强极限的基数是强不可达的。

假设存在强不可达基数有时以假设可以在格罗腾迪克宇宙中工作的形式来应用，这两个想法是紧密相连的。

ZFC隐含着一个条件，只要κ是强不可达的，

𝑉κ就是ZFC的模型。而ZF意味着，只要κ弱不可达，Gödel宇宙𝐿κ就是ZFC的一个模型。因此，ZF和“存在弱不可达基数”两个条件意味着ZFC是一致的。因此，不可达基数是大基数的一种类型。

如果V是ZFC的标准模型，并且κ在V中是不可达的，那么：𝑉κ是策梅罗-弗兰克尔集合论的预期模型之一；而𝐷𝑒𝑓（𝑉κ）是门德尔森的冯·诺依曼-伯恩斯·戈德尔集合理论的预期模型之一，排除了总体选择，通过替代和选择来取代尺寸限制；而𝑉κ+1是莫尔斯凯利集理论的预期模型之一。这里𝐷𝑒𝑓（𝑋）是X的∆₀可定义子集。然而，为了使𝑉κ成为ZF的标准模型，κ不需要是不可达的，甚至是基数，也可以参考下文。

假设V是ZFC的模型。 V中没有强不可达的，或者将κ作为V中最小的强不可达，𝑉κ是ZFC的标准模型，不包含强不可达的。因此，ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性“没有强不可达性”。类似地，V不包含弱不可达的，或者相对于V的任何标准子模型，将κ作为弱不可达的最小序数，则𝐿κ是不包含弱不可达的ZFC的标准模型。所以ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性，“没有弱不可达”。这表明ZFC不能证明不可达基数的存在，所以ZFC与不可达基数的不存在性是一致的。

ZFC是否与不可达基数的存在性是一致的这个问题更加微妙。前一段描述的证据表明，ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性，“ZFC”中没有不可达基数“可以在ZFC中正式化。然而，假设ZFC是一致的，没有证据表明ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性，“ZFC”中有一个不可达基数“可以被形式化。这是从戈德尔的第二个不完全定理得出的，这表明如果ZFC+“有一个不可达基数”是一致的，那么它就不能证明自己的一致性。因为ZFC+“有一个不可达基数”确实证明了ZFC的一致性，如果ZFC证明自己的一致性意味着ZFC+的一致性“有一个不可达基数”，那么后一种理论将能够证明自己的一致性，这是不可能的。

存在无法在ZFC中形式化的不可达基数的论据。Hrbacek和Jech（1999）提出的一个这样的论证是，如果有一个更大的集合理论模型扩展了M，并且集合理论的特定模型M的所有序数的类本身将是一个不可达基数。

在集合论中有许多重要的公理断定某种满足条件的类别的基数是存在的。在不可达的情况下，相应的公理指出，对于每个基数μ，存在严格大于μ<κ的不可达基数κ。

因此，这个公理保证了一个不可达基数的存在（有时也被称为不可达基数公理）。如果存在任何不可达基数的情况，则不可达主要公理从ZFC的公理是无法证明的。假设ZFC，不可达基数公理等同于格罗腾迪克和维迪尔的公理：每个集合都包含在格罗腾迪克适用公理中。ZFC的公理与适用公理（或等价于不可达基数公理）被表示为ZFCU（可能与ZFC混淆）。该公理有助于证明每个类别都具有适当的米田嵌入。

首先，当且仅当κ具有以下反射特性时，基数κ是∏⁰ₙ-不可达的：对于所有子集𝑈包含于𝑉κ，存在𝑎＜κ，使得（𝑉𝑎，∈，𝑈⋂𝑉𝑎）是（𝑉κ，∈，𝑈）的基本子结构。

（实际上，这样的𝑎的集合在κ中是无界的。）等价地，对于所有n≥0，κ是-不可达的。

其次，在ZFC下，可以看出，当且仅当（𝑉κ，∈）是二阶ZFC的模型时，κ是不可达的。

（𝑉κ，∈）在这种情况下，通过上述反射特性，存在α<κ，使得是（一阶）ZFC的标准模型。因此，存在不可接近的基数是比ZFC的标准模型的存在更强的假设。

其中的不可达基数有多阶算法

而𝑉据说包含所有大基数，而𝐿接近于𝑉。

其意思差不多相等，所以才会有𝑉=𝐿这个东西。